Математика общей теории относительности №7 — Уравнение Эйнштейна

Уравнения Эйнштейна — это уравнения гравитационного поля в общей теории относительности (ОТО), которые связывают метрику искривлённого пространства-времени со свойствами материи, его заполняющей. Они были опубликованы Альбертом Эйнштейном в 1915 году. В тензорной записи уравнение имеет вид: R_(μν) - 1/2g_(μν)R + Λ g_(μν) = (8π G)/c^4T_(μν), где: R_(μν) — тензор Риччи, получающийся из тензора кривизны пространства-времени посредством свёртки его по паре индексов; g_(μν) — метрический тензор, описывающий свойства пространства-времени; R — скалярная кривизна, свёрнутая с метрическим тензором; 3minut.ru Λ — космологическая постоянная (лямбда-член); G — гравитационная постоянная; c — скорость света в вакууме; T_(μν) — тензор энергии-импульса материи. Некоторые свойства уравнений Эйнштейна: Нелинейность. Уравнения нелинейны относительно компонент метрического тензора, что приводит к сложностям при попытках их квантования. Из-за нелинейности не выполняется принцип суперпозиции: сумма двух решений уравнений не всегда является новым решением. Система дифференциальных уравнений в частных производных. В четырёхмерном пространстве-времени эти уравнения равносильны 10 скалярным уравнениям. Связь геометрии пространства-времени с материей и её движением. Левая часть уравнения описывает кривизну пространства-времени, а правая — распределение энергии и импульса материи. Можно сказать, что «материя указывает пространству-времени, как искривляться, а пространство-время — материи, как двигаться». Вывод из принципа наименьшего действия. Уравнения Эйнштейна можно вывести из принципа наименьшего действия для действия Эйнштейна — Гильберта. Некоторые важные аспекты: В задачах локальных масштабов, далёких от космологических, космологический член Λ часто принимают равным нулю. Локальный закон сохранения энергии-импульса в ОТО является следствием уравнений Эйнштейна — это исчезновение ковариантной дивергенции тензора энергии-импульса материи. Среди важнейших точных решений уравнений Эйнштейна — решение Шварцшильда (для пространства-времени, окружающего сферически симметричный незаряженный и невращающийся массивный объект), решение Керра (для вращающегося массивного объекта) и другие. ОТО, основанная на уравнениях Эйнштейна, является наиболее успешной теорией гравитации, хорошо подтверждённой наблюдениями.